Méthode par placement de pôles

Cette méthode 8 fut proposée par Romeiras et généralise la méthode OGY.

Principe

Elle généralise la méthode OGY dans le sens où elle peut tenir compte de plusieurs directions instables. En introduisant des perturbations sur le paramètre, on modifie le comportement du système de façon à ramener les valeurs propres, régissant l’évolution dans la section de Poincaré, dans le cercle unité.

Section de Poincaré

On note B = B(X0, p0) et A = A(X0, p0). On pose aussi: dXn = Xn – X0.

Alors, par linéarisation autour du point fixe, on obtient:

Équation (22).

La méthode nous conduit à calculer dpn comme fonction linéaire de dXn; on notera: dpn = -K.dXn, où K est le vecteur de contrôle.

Alors,

Équation (23).

Cette formule implique que le contrôle sera satisfaisant si et seulement si les valeurs propres de A – B.K sont dans le cercle unité.

On suit donc la démarche suivante:

1) Détermination d’un point fixe
Bien souvent, le calcul du point fixe ne se fait pas de manière analytique; on doit donc utiliser des calculs numériques. Par exemple, on peut simuler l’évolution dans le temps du système et repérer les points au voisinage du point fixe.

2) Déterminer la matrice jacobienne A et la matrice B
Là encore, des calculs numériques sont souvent nécessaires. Dans ce cas, on peut recueillir les données signalées au 1) (comportement de points au voisinage du point fixe) et traiter l’évolution de ces points dans la section de Poincaré (pour les passages suivants). On détermine ensuite, par une méthode des moindres carrés, la matrice A qui rend le mieux compte de ce comportement.
Pour calculer la matrice B, on considère le même ensemble de points au voisinage du point fixe et leur évolution dans la section de Poincaré. On réitère la génération de ces points pour d’autres valeurs du paramètre.

3) On choisit les valeurs propres qu’on souhaite donner à la matrice A – B.K
Aucune méthode stricte de choix de ces valeurs propres ne se justifie rigoureusement. On procède à des choix arbitraires, que l’habitude justifie. Par exemple, on a l’habitude d’imposer une valeur propre inverse pour toute valeur propre instable.

4) On applique une méthode adaptée1 pour déterminer le vecteur de contrôle K.