Présentation formelle

Définitions

Système

Dans cet exposé, on appellera système tout système matériel (ensemble de points matériels) ou modèle mathématique, régi, en approximation, par un ensemble d’équations à n degrés de liberté.

Système chaotique

Un système chaotique est un système dont l’exposant de Lyapunov est strictement positif.

Exposant de Lyapunov

On considère un système à n degrés de liberté. Soient X₀ et Y₀ deux conditions initiales pour ce système (valeurs initiales des n degrés de liberté). On note X et Y les fonctions du temps telles que X(t) et Y(t) représentent respectivement l’état du système (les valeurs des n degrés de liberté) à l’instant t et telles que X(0) = X₀ et Y(0) = Y₀.
On note d la distance euclidienne définie comme suit:

(1).

S’il existe un instant t_l, une constante réelle λ et une constante réelle a tels que, si I = [0, t_l],

(2).

alors, λ est appelé exposant de Lyapunov.

On comprend que l’exposant de Lyapunov caractérise la qualité chaotique ou non d’un système car il rend compte de la sensibilité aux conditions initiales.

Note: On impose à la propriété de n’être vérifiée que sur un intervalle I car des effets limitants peuvent intervenir de sorte que la croissance exponentielle ne puisse être observée que localement. La présence d’attracteur justifie cette limitation.

Attracteur

On appelle attracteur un ensemble de points vers lequel converge la trajectoire de l’espace des phases.

Pratiquement, à partir de quelques itérations, on considère que l’ensemble des points de l’espace des phases décrit l’attracteur.

Exemples

Ce site présente quatre attracteurs qui représentent trois “types d’attracteur”:

• attracteur de Hénon, exemple simple;
• attracteur de Lorenz, attracteur classique;
• attracteur de Rössler, attracteur du même type que l’attracteur de Lorenz;
• attracteur de Moon, plus complexe.

Ces attracteurs sont présentés dans les pages suivantes et dans l’ordre indiqué.